Kovo 14 d. 1:59:26 val. Tai – artimiausias skaičiaus pi artinys, kurį galime pamatyti savo laikrodžiuose. 3,1415926... – skaitmenys, besidriekiantys į begalybę, sutinkami daugybėje vietų moksle, mene ir kitur gyvenime. Susipažinkime su pi ir jo istorija truputį plačiau.
Apibrėžimas yra paprastas: pi – tai apskritimo ilgio ir jo skersmens santykis. Žymėjimas graikiška raide π kilęs nuo žodžio perimetros, reiškiančio apskritimo ilgį. Apie jį rašė dar senovės babiloniečiai. Negalėdami apskaičiuoti tikslios santykio vertės, jie prilygino jį trims, vėliau – 3,125. Senovės Graikijoje Pitagoras įrodė, kad skaičiaus vertė yra tarp [math]3 \frac{1}{7}[/math] ir [math]3 \frac{10}{71}[/math]. Senovės Kinijoje vertė buvo nustatyta dar tiksliau: [math]\pi \simeq \frac{335}{113}[/math]. XVIII amžiuje buvo įrodyta, kad pi – iracionalusis skaičius: jo neįmanoma išreikšti kaip dviejų sveikųjų skaičių santykio. Bet kokia dešimtainė išraiška, kaip aukščiau parašytoji 3,1415926..., yra tik artinys. Šis įrodymas kartu užbaigė ir šimtmečius trukusius bandymus „sukvadratinti apskritimą“.
Apskritimo „kvadratinimas“ – geometrinis uždavinys. Turėdami liniuotę (be padalų) ir skriestuvą, nubraižykite kvadratą, kurio plotas būtų lygus duoto apskritimo plotui, arba atvirkščiai. Kaip ir daugybė kitų geometrinių uždavinių, jis masina žmones nuo antikinių laikų iki šiandienos. Beje, tokie uždaviniai-žaidimai prieinami ir išmaniųjų telefonų kartai – pavyzdžiui, žaidimas „Euclidea“ suteiks ne vieną valandą smegenų mankštos. Bet apskritimo paversti tokio paties ploto kvadratu ten negalėsite, nes tai neįmanoma.
Skaičius pi sutinkamas šimtuose matematikos ir gamtos mokslų sričių. Savaime suprantama, ryšys su apskritimo ilgiu reiškia, kad pi randamas įvairiose geometrijos formulėse. Bene svarbiausia iš jų yra radiano apibrėžimas. Radianas – kampo matas, lygus maždaug 57,3 laipsnio. Šitoks skaičius atsiranda todėl, kad radianas yra toks kampas, kurį atidėjus apskritime, atkirstos apskritimo dalies ilgis yra lygus apskritimo spinduliui. O visame apskritime tada yra 2π radianų, nes π kart skersmuo lygus 2π kart spindulys. Iš dviejų matmenų perėjus į tris, irgi randame pi: sferos plotas lygus 4π kart jos spindulio kvadratas. Iš šios išraiškos gauname ir erdvinio radiano atitikmens – steradiano – apibrėžimą: tai yra erdvinis kampas, kurio atkertamos sferos dalies plotas lygus jo spindulio kvadratui. Tada visa sfera turi 4π steradianų.
Kita svarbi ir dažnai sutinkama matematikos atšaka, kurioje randame pi – kompleksiniai skaičiai. Šiuos skaičius sudaro reali ir menama dalys, o menama dalis skaičiuojama menamais vienetais i. Menamas vienetas apibrėžiamas taip: [math]i^2 = -1[/math]. O garsusis matematikas Leonhardas Euleris atrado, kad [math]e^{i\pi}+1=0[/math]. Ši išraiška, vadinama Eulerio identitetu, vadinama gražiausia matematikos lygtimi, nes susieja daugybę labai svarbių dydžių: nulį, vienetą (skaičių teorijos ir apskritai skaičiavimo pagrindus), menamą vienetą i, natūraliųjų logaritmų pagrindą e ir, aišku, pi. Šį sąryšį galima pavaizduoti kompleksinių skaičių plokštumoje, kurios vienoje ašyje yra realūs, o kitoje – menami skaičiai. Tokioje plokštumoje eksponentės [math]e^{ix}[/math] vertė atitinka judėjimą apskritimu, kurio spindulys lygus vienetui, x radianų prieš laikrodžio rodyklę nuo vieneto. Pi radianų yra pusė apskritimo ilgio ir duoda rezultatą [math]e^{i\pi} = -1[/math]. Pridėję vienetą, gauname nulį. Visa tai pavaizduota diagramoje žemiau.
Skaičiaus pi ryšys su apskritimais ir sferomis nulemia dažną jo pasirodymą įvairiose fizikos srityse, nuo orbitinio judėjimo formulių iki kvantinės fizikos. Kone visur, kur randame nors kokį cikliškumą, atrasime ir pi. Taip pat pi randame statistikos moksle, įvairių duomenų skirstinių išraiškose. Netgi vienas iš seniausių būdų apytikriai nustatyti pi vertę remiasi statistika.
Įsivaizduokime, kad turime plokštumą (pavyzdžiui, popieriaus lapą arba staltiesę), subraižytą lygiagrečiomis linijomis. Atstumas tarp gretimų linijų yra vienodas ir lygus d. Paimkime krūvą adatų ar degtukų, kurių kiekvieno ilgis l < d ir numeskime ant plokštumos. Adatų dalis f, dengianti linijas, gali būti apskaičiuota pagal formulę [math]f = \frac{2l}{\pi \,&d}[/math]. Žinodami f, l ir d, galime apskaičiuoti pi. Šis uždavinys vadinamas Bufono adata, pagal jį sugalvojusi XVIII a. gyvenusį Bufono grafą Georgesą-Louisą Leclercą.
Galbūt pi dažnumas ir įvairūs pritaikymai, galbūt apibrėžimo paprastumas, galbūt angliško tarimo panašumas į žodį „pie“ šiam skaičiui suteikia didžiulį populiarumą visuomenėje. Pradedant pi dienos minėjimu ir pi skaitmenų rašymo iš atminties konkursais (vienas toks jau ne pirmus metus vyksta ir Lietuvoje), baigiant pi ant pyragų ir kitokių meno kūrinių.
Mene pi kartais naudojamas kaip speciali sąlyga, kurios privalo laikytis kūrinys. Štai pavyzdys: Edgaro A. Poe eilėraštis „The Raven“, perrašytas taip, kad kiekvieno žodžio raidžių skaičius atitiktų vis tolesnį pi skaitmenį. Panašiu būdu sudaromi sakiniai, skirti pi skaitmenų atsiminimui, tarkim populiarus angliškas „How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics“, arba trumpesnis lietuviškas „Dėk i prie i, gausi ieškomąjį pi“. Muzikoje irgi galima pi skaitmenis paversti natomis ir jas sugroti. Arba tiesiog galima dainuoti pi skaitmenis tol, kol baigiasi kantrybė ir sveikas protas.
Sveiko proto dėl pi prarasti neverta, bet pasidžiaugti matematine įdomybe – kodėl gi ne. Su pi diena visus!